Mathématiques
Nombres réels · Pourcentages

Les 5 ensembles
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ
des poupées russes
Le réflexe
Simplifier
avant de classer
Le piège
1/3 ∉ D
rationnel, pas décimal
Le sommaire — clique, ça t'y emmène
1Si tu ne revois qu'une chose2Les nombres réels — les cinq familles3Les pourcentages — l'autre moitié de la fiche4La proportion : une partie divisée par un tout5Les évolutions — la partie qui compte pour l'année6La valeur absolue — cours III.1 (raté le 1er oct)Nouveau712 exercices corrigés, 19 cartes, 17 questions
DS mardi 6 octobre — et tu as raté les cours du 1er oct Nouveau

Le DS du 1er octobre est reporté au mardi 6 octobre. Il couvre tout le chapitre, y compris la valeur absolue (Cours III.1) vue jeudi 1er oct — deux séances que tu n'as pas faites. La valeur absolue est ajoutée ici en partie 4 : lis-la avant toute chose.

Si tu ne revois qu'une chose
Les 5 ensemblesℕ entiers naturels (0, 1, 2…) · ℤ entiers relatifs (… −2, −1, 0, 1…) · 𝔻 décimaux (l'écriture décimale s'arrête) · ℚ rationnels (les fractions d'entiers) · ℝ réels (tous, y compris √2 et π).
L'emboîtementℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ — comme des poupées russes : tout entier naturel est aussi relatif, décimal, rationnel et réel.
Le réflexeSimplifie avant de classer. 14/7 a l'air d'une fraction, mais 14/7 = 2 ∈ ℕ. √9 a l'air d'une racine, mais √9 = 3 ∈ ℕ.
Les 3 pièges1/3 = 0,333… ne s'arrête jamais → rationnel mais pas décimal · √2 et π ne sont pas des fractions → réels mais pas rationnels · −5 est entier mais pas naturel.
Les nombres réels — les cinq familles

Tous les nombres que tu connais vivent dans ℝ, la droite des réels. À l'intérieur, cinq familles emboîtées : chaque nombre appartient à la plus petite famille qui l'accepte — et à toutes celles qui la contiennent.

EnsembleQui il contientExemplesN'y est PAS
ℕLes entiers naturels : on compte sur les doigts.0 · 1 · 15 · 2026−3 · 2,5
ℤLes entiers relatifs : les naturels + les négatifs.−7 · 0 · 420,5 · 1/3
𝔻Les décimaux : l'écriture décimale s'arrête (un nombre fini de chiffres après la virgule).3,25 = 13/4 · −0,7 · 81/3 = 0,333…
ℚLes rationnels : tout ce qui s'écrit a/b avec a et b entiers, b ≠ 0.1/3 · −5/7 · 3,25√2 · π
ℝLes réels : tous les points de la droite graduée, sans exception.√2 · π · −4/3 · 0—
Le moyen de retenir
Des poupées russes : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Chaque ensemble est entièrement contenu dans le suivant. Dire « 2 ∈ ℕ » n'empêche pas « 2 ∈ ℝ » : la petite poupée est dans la grande. La question du DS est toujours : quel est le plus petit ensemble auquel le nombre appartient ?

La méthode
Classer n'importe quel nombre — les 4 gestes, dans l'ordre
  1. Simplifie d'abord. Calcule ce qui se calcule : 14/7 = 2 · √9 = 3 · 6/4 = 1,5. C'est le piège n° 1 du chapitre.
  2. C'est un entier ? Positif ou nul → ℕ. Négatif → ℤ.
  3. L'écriture décimale s'arrête ? Oui → 𝔻. Elle se répète sans fin (1/3 = 0,333…) → ℚ seulement.
  4. Ni entier, ni décimal, ni fraction ? √2, π… → c'est un irrationnel : il n'est que dans ℝ.
Et pour justifier « 3,25 ∈ 𝔻 », écris-le en fraction décimale : 3,25 = 325/100 = 13/4. Une justification vaut toujours des points.
Les trois vrai/faux qui tombent à tous les DS

« Tout entier est un décimal » → VRAI : 7 = 7,0, l'écriture s'arrête.

« Tout rationnel est un décimal » → FAUX : 1/3 = 0,3333… ne s'arrête jamais.

« √2 est un rationnel » → FAUX : aucune fraction d'entiers ne donne √2. C'est LE nombre irrationnel du cours.

Les pourcentages — l'autre moitié de la fiche
Les 2 formulesTaux d'évolution t = (arrivée − départ) ÷ départ · Coefficient CM = 1 + t, et donc arrivée = départ × CM. Il n'y en a pas d'autres dans le chapitre.
Le réflexeÉcris tout en décimal. 60 % = 0,60. Un pourcentage n'est pas un nombre à part, c'est une division — et tout devient alors une multiplication.
Les 3 questions1. départ + taux → arrivée : 80 × 1,15 = 92 €. 2. départ + arrivée → taux : (200 − 250) ÷ 250 = −20 %. 3. arrivée + taux → départ : on divise, 750 ÷ 1,25 = 600 €.
Les 3 fautesAdditionner deux pourcentages · additionner deux taux d'évolution · retirer 25 % au lieu de diviser par 1,25 pour remonter au prix de départ.
La méthode
Devant n'importe quel énoncé de pourcentage — les 4 gestes
  1. Écris trois mots dans la marge : départ ? taux ? arrivée ? Tu notes ce que l'énoncé te donne. Celui qui manque, c'est la question.
  2. Range-toi dans une des 3 questions du tableau ci-dessus. Il n'y en a pas de quatrième dans tout le chapitre.
  3. Écris le coefficient avant de calculer : hausse → 1 + le taux, baisse → 1 − le taux. S'il sort négatif, tu t'es trompé.
  4. Vérifie en sens inverse. Tu as trouvé 600 € ? Refais 600 × 1,25 : ça doit redonner 750. À chaque fois.
Sans calculatrice : 10 % = ÷ 10 · 1 % = ÷ 100 · 50 % = la moitié · 25 % = le quart. Tout le reste se fabrique en combinant — 35 % = 25 % + 10 %.
La proportion : une partie divisée par un tout
La formule
p = partie ÷ tout
Toujours un nombre entre 0 et 1. Pour l'écrire en pourcentage, tu multiplies par 100.
Exemple
18 / 30 = 0,6
Dans une classe de 30 élèves, 18 filles → 60 % de filles.
Vérification : 12/30 = 40 % de garçons. 60 + 40 = 100. ✓
Le truc pour ne jamais se tromper de sens
« DE » monte, « DANS » descend.

Proportion de filles → 18 va en haut. dans la classe → 30 va en bas.

Avant chaque calcul, tu relis la question en te demandant : proportion de quoi, dans quoi ?

Une proportion d'une proportion : on multiplie

La règle

Si A est une partie de B, et B une partie de E : proportion de A dans E = (A dans B) × (B dans E).

En français courant : « … % DE … % » veut dire MULTIPLIER.

N°L'énoncéLe calcul
1Dans un lycée, 40 % des élèves sont en seconde. Parmi ces secondes, 25 % font espagnol LV2. Quelle part du lycée ?0,40 × 0,25 = 0,10 = 10 %
✓Test de bon sens : sur 1 000 élèves → 400 secondes → 25 % de 400 = 100 → 100/1 000.10 %. Ça colle.
L'erreur classique

40 % + 25 % = 65 % est faux. Une proportion d'une proportion est forcément plus petite que chacune des deux. Si ton résultat est plus grand, tu as additionné.

Appliquer un pourcentage à une quantité

La formule
t % de N = N × t/100
15 % de 240 = 240 × 0,15 = 36.
Les pourcentages de tête — utile au contrôle sans calculatrice
10 % = ÷ 10 · 1 % = ÷ 100 · 50 % = la moitié · 25 % = le quart · 20 % = le cinquième

Tous les autres se fabriquent en combinant. 35 % = 25 % + 10 %. Contrôle mental de 15 % de 240 : 10 % = 24, 5 % = 12, total 36. ✓

Partie 2
Les évolutions — la partie qui compte pour l'année

Les deux seules formules du chapitre :
Taux d'évolution : t = (Varrivée − Vdépart) ÷ Vdépart
Coefficient multiplicateur : CM = 1 + t, et donc Varrivée = Vdépart × CM.

L'évolutionTaux tCoefficient
Augmenter de 20 %+0,20× 1,20
Augmenter de 5 %+0,05× 1,05
Augmenter de 100 % (doubler)+1× 2
Baisser de 20 %−0,20× 0,80
Baisser de 5 %−0,05× 0,95
Baisser de 50 % (la moitié)−0,50× 0,50
Le truc pour écrire le coefficient sans réfléchir
Hausse → 1 plus le taux. Baisse → 1 moins le taux.

Un coefficient supérieur à 1 = ça monte. Inférieur à 1 = ça descend. Égal à 1 = rien n'a bougé. Si tu trouves un coefficient négatif, c'est que tu t'es trompé.

Les trois questions possibles

1On te donne le départ et le taux, tu cherches l'arrivée.
Un article à 80 € augmente de 15 % → 80 × 1,15 = 92 €.
2On te donne le départ et l'arrivée, tu cherches le taux.
250 € → 200 € : t = (200 − 250) ÷ 250 = −50 ÷ 250 = −0,20 = −20 %.
3On te donne l'arrivée et le taux, tu remontes au départ.
Après +25 %, un loyer vaut 750 €. On ne retire pas 25 % : on divise par le coefficient.
750 ÷ 1,25 = 600 €. Vérification : 600 × 1,25 = 750. ✓ 750 − 25 % = 562,50 € : faux

Évolutions successives : on multiplie les coefficients

Le piège le plus fréquent de toute la seconde

Un prix augmente de 20 %, puis baisse de 20 %. Revient-il à son prix de départ ? Non. 1,20 × 0,80 = 0,96, soit une baisse globale de 4 %.

Pourquoi : la hausse s'applique au petit prix, la baisse au grand prix. 100 € → +20 % → 120 € → −20 % de 120 (soit 24 €) → 96 €.

On n'additionne JAMAIS des taux. On multiplie les coefficients.

Exemple à trois étapes
Trois années : +10 %, puis +5 %, puis −8 %.
CM global = 1,10 × 1,05 × 0,92 = 1,0626 → t global = 1,0626 − 1 = +6,26 %.
Le taux global se relit toujours sur le coefficient : on lui enlève 1.
Partie 3
La valeur absolue — cours III.1 (raté le 1er oct) Nouveau

La valeur absolue de x, notée |x|, c'est sa distance à 0 sur la droite réelle. Elle est toujours positive ou nulle. Et |x − a|, c'est la distance entre x et a.

Définition
|x| ≥ 0, toujours
Si x ≥ 0 : |x| = x. Si x < 0 : |x| = −x.
Exemples : |5| = 5 · |−3| = 3 · |0| = 0.
Distance sur la droite réelle
|x − a| = dist(x, a)
|x| = distance entre x et 0.
|x − a| = distance entre x et a.
Exemple : |x − 2| = distance entre x et 2.

Résoudre une inégalité avec valeur absolue

La règle à connaître par cœur

|x − a| ≤ r  ⟺  a − r ≤ x ≤ a + r  ⟺  x ∈ [a−r ; a+r]

Traduction : « la distance entre x et a est au plus r » = « x est dans l'intervalle centré en a, de rayon r ».

N°L'inégalitéLa résolutionSolution
1|x − 2| ≤ 1
(l'exemple du cours)		 a = 2, r = 1 → 2−1 ≤ x ≤ 2+1[1 ; 3]
✓Vérification : |1−2| = 1 ✓  ·  |3−2| = 1 ✓  ·  |2−2| = 0 ✓
2|x − 5| ≤ 3 a = 5, r = 3 → 5−3 ≤ x ≤ 5+3[2 ; 8]
3|x + 1| ≤ 2 |x − (−1)| ≤ 2 → a = −1, r = 2 → −1−2 ≤ x ≤ −1+2[−3 ; 1]
Comment lire |x + 1| sans se tromper
|x + 1| = |x − (−1)|

Un « + » dans la valeur absolue veut dire que a est négatif. |x + 1| = distance entre x et −1. Pas entre x et 1.

Le piège du signe

|−3| ≠ −3. La valeur absolue efface le signe négatif. |−3| = 3. Si tu trouves une valeur absolue négative dans un calcul, tu t'es trompé quelque part.

À l'envers : trouver a et r depuis l'intervalle

Méthode inverse — si tu dois écrire l'inégalité
L'intervalle [1 ; 3] a son centre en (1+3)/2 = 2 et son rayon (3−1)/2 = 1. Donc [1 ; 3] ⟺ |x − 2| ≤ 1. Le professeur peut demander ça dans l'autre sens.
Partie 4
12 exercices corrigés, 19 cartes, 17 questions

Mode d'emploi : tu poses le calcul sur une feuille, ensuite seulement tu cliques sur « voir la correction ». Un exercice de maths regardé n'est pas un exercice fait.

Exercice 1Classe chaque nombre dans le plus petit ensemble : 12 · −8 · 3,75 · 1/3 · √2 · 14/7
12 ∈ ℕ · −8 ∈ ℤ · 3,75 = 15/4 ∈ 𝔻 · 1/3 ∈ ℚ (0,333… ne s'arrête pas) · √2 ∈ ℝ (irrationnel) · 14/7 = 2 ∈ ℕ — on simplifie AVANT de classer.
Exercice 2Vrai ou faux : « tout décimal est un rationnel » · « tout rationnel est un décimal » · « −3 ∈ ℕ »
VRAI : 3,25 = 13/4, une fraction. · FAUX : 1/3 est rationnel mais son écriture 0,333… ne s'arrête jamais. · FAUX : ℕ ne contient pas les négatifs, −3 ∈ ℤ.
Exercice 3Montre que 4,6 est un décimal, puis que c'est aussi un rationnel.
4,6 = 46/10 = 23/5 : l'écriture décimale s'arrête → 4,6 ∈ 𝔻. Et 23/5 est une fraction d'entiers → 4,6 ∈ ℚ. Normal : 𝔻 ⊂ ℚ, tout décimal est rationnel.
Exercice 4Piège du prof : √9, 6/4 et 2026/2 ont l'air compliqués. Classe-les.
√9 = 3 ∈ ℕ · 6/4 = 1,5 ∈ 𝔻 · 2026/2 = 1013 ∈ ℕ. Toujours simplifier d'abord : c'est le point que le DS vérifie.
Exercice 5Sur 250 élèves d'un lycée, 45 sont demi-pensionnaires. Quelle proportion, en % ?
45 ÷ 250 = 0,18 → 18 %.
Exercice 6Dans un club, 60 % sont des hommes et 30 % de ces hommes ont plus de 40 ans. Quelle proportion du club sont des hommes de plus de 40 ans ?
« 30 % DE 60 % » → on multiplie. 0,60 × 0,30 = 0,18 → 18 %.
Exercice 7Calcule 18 % de 350, puis 7,5 % de 1 200.
350 × 0,18 = 63.  ·  1 200 × 0,075 = 90.
Exercice 8Un jean à 60 € est soldé à −30 %. Prix final ?
Coefficient de baisse : 1 − 0,30 = 0,70.   60 × 0,70 = 42 €.
Exercice 9Une population passe de 12 400 à 13 020 habitants. Taux d'évolution en % ?
t = (13 020 − 12 400) ÷ 12 400 = 620 ÷ 12 400 = 0,05 → +5 %.
Exercice 10Un prix baisse de 40 % puis augmente de 40 %. Quelle est l'évolution globale ?
0,60 × 1,40 = 0,84 → 0,84 − 1 = −0,16 → baisse de 16 %. Non, ça ne revient pas au point de départ.
Exercice 11Après une baisse de 20 %, un article coûte 96 €. Quel était son prix initial ?
On divise par le coefficient : 96 ÷ 0,80 = 120 €. Vérification : 120 × 0,80 = 96. ✓
Exercice 12Un placement rapporte 3 % par an. Que valent 2 000 € au bout de 3 ans ?
2 000 × 1,03 × 1,03 × 1,03 = 2 000 × 1,03³ = 2 000 × 1,092727 = 2 185,45 €.

Les cartes

21 cartes. Réponds à voix haute, puis déplie pour vérifier.

Les 5 ensembles de nombres, dans l'ordre ?
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ : naturels, relatifs, décimaux, rationnels, réels. Des poupées russes.
C'est quoi, un nombre décimal ?
Un nombre dont l'écriture décimale s'arrête. 3,25 ∈ 𝔻 ; 1/3 = 0,333… ∉ 𝔻.
Pourquoi 1/3 n'est-il pas décimal ?
Parce que 0,3333… ne s'arrête jamais. Il reste rationnel : c'est une fraction d'entiers.
Cite deux nombres irrationnels.
√2 et π : aucune fraction d'entiers ne les donne. Ils ne sont que dans ℝ.
Avant de classer 14/7 ou √9, que fais-tu ?
Je simplifie : 14/7 = 2 et √9 = 3 → tous les deux dans ℕ. Jamais classer sans calculer.
La formule de la proportion ?
p = la partie ÷ le tout. Toujours entre 0 et 1. × 100 pour l'avoir en %.
« Proportion de filles dans la classe » : qui va en haut ?
Ce qui suit DE va en haut (les filles), ce qui suit DANS va en bas (la classe).
« 25 % des 40 % » : on additionne ou on multiplie ?
On multiplie : 0,40 × 0,25 = 0,10 = 10 %. Le résultat est toujours plus petit que chacun des deux.
t % de N, ça fait ?
N × t/100. 15 % de 240 = 240 × 0,15 = 36.
La formule du taux d'évolution ?
t = (arrivée − départ) ÷ départ. Le départ est toujours au dénominateur.
Comment passer du taux au coefficient ?
CM = 1 + t. +20 % → 1,20. −20 % → 0,80.
Un coefficient de 0,93 veut dire quoi ?
Une baisse de 7 % : 0,93 − 1 = −0,07.
Comment remonter au prix de départ ?
On divise par le coefficient. Après +25 %, 750 € → 750 ÷ 1,25 = 600 €. On ne retire pas 25 %.
+20 % puis −20 %, on retrouve le prix de départ ?
Non. 1,20 × 0,80 = 0,96 → une baisse de 4 %.
Trois évolutions à la suite, comment fait-on ?
On multiplie les trois coefficients. +10 %, +5 %, −8 % → 1,10 × 1,05 × 0,92 = 1,0626 → +6,26 %.
Les pourcentages de tête ?
10 % = ÷10 · 1 % = ÷100 · 50 % = la moitié · 25 % = le quart · 20 % = le cinquième.
Une baisse de 100 %, ça donne quel coefficient ?
0 : 1 − 1 = 0. Il ne reste rien. C'est la limite : on ne peut pas baisser de plus de 100 %.
Que vaut |−7| ?
7. La valeur absolue efface le signe. |−7| = −(−7) = 7.
Que mesure |x − a| sur la droite réelle ?
La distance entre x et a. |x − 2| = distance entre x et 2.
Résoudre |x − 2| ≤ 1 ?
a = 2, r = 1 → 1 ≤ x ≤ 3, soit x ∈ [1 ; 3].
Résoudre |x + 1| ≤ 2 ?
|x + 1| = |x − (−1)| → a = −1, r = 2 → −3 ≤ x ≤ 1, soit x ∈ [−3 ; 1].

Le quiz — 15 questions

17 questions. Une seule réponse par question.

1Quel est le plus petit ensemble contenant −7 ?
Réponse : ℤ. −7 est un entier négatif : relatif, pas naturel.
21/3 appartient à…
Réponse : ℚ mais pas 𝔻. 0,333… ne s'arrête jamais : rationnel, pas décimal.
3√2 est un nombre…
Réponse : irrationnel. Aucune fraction d'entiers ne donne √2 : il n'est que dans ℝ.
414/7 appartient à…
Réponse : ℕ. On simplifie d'abord : 14/7 = 2, un entier naturel.
5« Tout décimal est rationnel » :
Réponse : vrai. 𝔻 ⊂ ℚ : 3,25 = 13/4. L'inverse est faux (1/3).
6Sur 80 élèves, 20 font espagnol. Quelle proportion ?
Réponse : 25 %. 20 ÷ 80 = 0,25 = 25 %.
730 % des élèves sont externes. Parmi eux, 50 % viennent en bus. Quelle part de l'ensemble ?
Réponse : 15 %. 0,30 × 0,50 = 0,15 = 15 %. « % de % » → on multiplie.
8Combien font 12 % de 450 ?
Réponse : 54. 450 × 0,12 = 54.
9Un prix passe de 200 € à 230 €. Le taux d'évolution est de…
Réponse : +15 %. (230 − 200) ÷ 200 = 30 ÷ 200 = 0,15 = +15 %.
10Quel coefficient pour une baisse de 35 % ?
Réponse : × 0,65. 1 − 0,35 = 0,65.
11Un coefficient de 1,04 correspond à…
Réponse : une hausse de 4 %. CM − 1 = 0,04 = +4 %.
12Après une hausse de 50 %, un article vaut 90 €. Son prix de départ ?
Réponse : 60 €. 90 ÷ 1,50 = 60 €. On divise, on ne retire pas 50 %.
13Un prix augmente de 10 % puis de 10 %. Au total ?
Réponse : +21 %. 1,10 × 1,10 = 1,21 → +21 %. On ne additionne jamais les taux.
14Un prix baisse de 50 % puis augmente de 50 %. Au total ?
Réponse : −25 %. 0,50 × 1,50 = 0,75 → une baisse de 25 %.
15Que vaut 1 200 € après trois hausses de 2 % ?
Réponse : 1 273,44 €. 1 200 × 1,02³ = 1 200 × 1,061208 = 1 273,44 €.
16Que vaut |−5| ?
Réponse : 5. La valeur absolue efface le signe. |−5| = 5.
17La solution de |x − 3| ≤ 2 est…
Réponse : [1 ; 5]. a = 3, r = 2 → 3−2 ≤ x ≤ 3+2 → [1 ; 5].