Mathématiques
Proportions et pourcentages

À rendre
Ex. 6, 11, 12
page 9 du manuel
Formules à savoir
2 seulement
t et CM
Le piège
+20 % −20 %
≠ retour au départ
Le sommaire — clique, ça t'y emmène
1La proportion : une partie divisée par un tout2Les évolutions — la partie qui compte pour l'année38 exercices corrigés, 12 cartes, 10 questions

Un pourcentage n'est pas un nombre à part, c'est une façon d'écrire une division. 60 %, c'est 0,60. Écris les pourcentages en décimal et tout devient une multiplication.

Les trois fautes qui reviennent
Additionner deux pourcentages · additionner deux taux d'évolution · retirer 25 % au lieu de diviser par 1,25 pour remonter au prix de départ.
La proportion : une partie divisée par un tout
La formule
p = partie ÷ tout
Toujours un nombre entre 0 et 1. Pour l'écrire en pourcentage, tu multiplies par 100.
Exemple
18 / 30 = 0,6
Dans une classe de 30 élèves, 18 filles → 60 % de filles.
Vérification : 12/30 = 40 % de garçons. 60 + 40 = 100. ✓
Le truc pour ne jamais se tromper de sens
« DE » monte, « DANS » descend.

Proportion de filles → 18 va en haut. dans la classe → 30 va en bas.

Avant chaque calcul, tu relis la question en te demandant : proportion de quoi, dans quoi ?

Une proportion d'une proportion : on multiplie

La règle

Si A est une partie de B, et B une partie de E : proportion de A dans E = (A dans B) × (B dans E).

En français courant : « … % DE … % » veut dire MULTIPLIER.

N°L'énoncéLe calcul
1Dans un lycée, 40 % des élèves sont en seconde. Parmi ces secondes, 25 % font espagnol LV2. Quelle part du lycée ?0,40 × 0,25 = 0,10 = 10 %
✓Test de bon sens : sur 1 000 élèves → 400 secondes → 25 % de 400 = 100 → 100/1 000.10 %. Ça colle.
L'erreur classique

40 % + 25 % = 65 % est faux. Une proportion d'une proportion est forcément plus petite que chacune des deux. Si ton résultat est plus grand, tu as additionné.

Appliquer un pourcentage à une quantité

La formule
t % de N = N × t/100
15 % de 240 = 240 × 0,15 = 36.
Les pourcentages de tête — utile au contrôle sans calculatrice
10 % = ÷ 10 · 1 % = ÷ 100 · 50 % = la moitié · 25 % = le quart · 20 % = le cinquième

Tous les autres se fabriquent en combinant. 35 % = 25 % + 10 %. Contrôle mental de 15 % de 240 : 10 % = 24, 5 % = 12, total 36. ✓

Partie 2
Les évolutions — la partie qui compte pour l'année

Les deux seules formules du chapitre :
Taux d'évolution : t = (Varrivée − Vdépart) ÷ Vdépart
Coefficient multiplicateur : CM = 1 + t, et donc Varrivée = Vdépart × CM.

L'évolutionTaux tCoefficient
Augmenter de 20 %+0,20× 1,20
Augmenter de 5 %+0,05× 1,05
Augmenter de 100 % (doubler)+1× 2
Baisser de 20 %−0,20× 0,80
Baisser de 5 %−0,05× 0,95
Baisser de 50 % (la moitié)−0,50× 0,50
Le truc pour écrire le coefficient sans réfléchir
Hausse → 1 plus le taux. Baisse → 1 moins le taux.

Un coefficient supérieur à 1 = ça monte. Inférieur à 1 = ça descend. Égal à 1 = rien n'a bougé. Si tu trouves un coefficient négatif, c'est que tu t'es trompé.

Les trois questions possibles

1On te donne le départ et le taux, tu cherches l'arrivée.
Un article à 80 € augmente de 15 % → 80 × 1,15 = 92 €.
2On te donne le départ et l'arrivée, tu cherches le taux.
250 € → 200 € : t = (200 − 250) ÷ 250 = −50 ÷ 250 = −0,20 = −20 %.
3On te donne l'arrivée et le taux, tu remontes au départ.
Après +25 %, un loyer vaut 750 €. On ne retire pas 25 % : on divise par le coefficient.
750 ÷ 1,25 = 600 €. Vérification : 600 × 1,25 = 750. ✓ 750 − 25 % = 562,50 € : faux

Évolutions successives : on multiplie les coefficients

Le piège le plus fréquent de toute la seconde

Un prix augmente de 20 %, puis baisse de 20 %. Revient-il à son prix de départ ? Non. 1,20 × 0,80 = 0,96, soit une baisse globale de 4 %.

Pourquoi : la hausse s'applique au petit prix, la baisse au grand prix. 100 € → +20 % → 120 € → −20 % de 120 (soit 24 €) → 96 €.

On n'additionne JAMAIS des taux. On multiplie les coefficients.

Exemple à trois étapes
Trois années : +10 %, puis +5 %, puis −8 %.
CM global = 1,10 × 1,05 × 0,92 = 1,0626 → t global = 1,0626 − 1 = +6,26 %.
Le taux global se relit toujours sur le coefficient : on lui enlève 1.
Partie 3
8 exercices corrigés, 12 cartes, 10 questions

Mode d'emploi : tu poses le calcul sur une feuille, ensuite seulement tu cliques sur « voir la correction ». Un exercice de maths regardé n'est pas un exercice fait.

Exercice 1Sur 250 élèves d'un lycée, 45 sont demi-pensionnaires. Quelle proportion, en % ?
45 ÷ 250 = 0,18 → 18 %.
Exercice 2Dans un club, 60 % sont des hommes et 30 % de ces hommes ont plus de 40 ans. Quelle proportion du club sont des hommes de plus de 40 ans ?
« 30 % DE 60 % » → on multiplie. 0,60 × 0,30 = 0,18 → 18 %.
Exercice 3Calcule 18 % de 350, puis 7,5 % de 1 200.
350 × 0,18 = 63.  ·  1 200 × 0,075 = 90.
Exercice 4Un jean à 60 € est soldé à −30 %. Prix final ?
Coefficient de baisse : 1 − 0,30 = 0,70.   60 × 0,70 = 42 €.
Exercice 5Une population passe de 12 400 à 13 020 habitants. Taux d'évolution en % ?
t = (13 020 − 12 400) ÷ 12 400 = 620 ÷ 12 400 = 0,05 → +5 %.
Exercice 6Un prix baisse de 40 % puis augmente de 40 %. Quelle est l'évolution globale ?
0,60 × 1,40 = 0,84 → 0,84 − 1 = −0,16 → baisse de 16 %. Non, ça ne revient pas au point de départ.
Exercice 7Après une baisse de 20 %, un article coûte 96 €. Quel était son prix initial ?
On divise par le coefficient : 96 ÷ 0,80 = 120 €. Vérification : 120 × 0,80 = 96. ✓
Exercice 8Un placement rapporte 3 % par an. Que valent 2 000 € au bout de 3 ans ?
2 000 × 1,03 × 1,03 × 1,03 = 2 000 × 1,03³ = 2 000 × 1,092727 = 2 185,45 €.

Les cartes

12 cartes. Réponds à voix haute, puis déplie pour vérifier.

La formule de la proportion ?
p = la partie ÷ le tout. Toujours entre 0 et 1. × 100 pour l'avoir en %.
« Proportion de filles dans la classe » : qui va en haut ?
Ce qui suit DE va en haut (les filles), ce qui suit DANS va en bas (la classe).
« 25 % des 40 % » : on additionne ou on multiplie ?
On multiplie : 0,40 × 0,25 = 0,10 = 10 %. Le résultat est toujours plus petit que chacun des deux.
t % de N, ça fait ?
N × t/100. 15 % de 240 = 240 × 0,15 = 36.
La formule du taux d'évolution ?
t = (arrivée − départ) ÷ départ. Le départ est toujours au dénominateur.
Comment passer du taux au coefficient ?
CM = 1 + t. +20 % → 1,20. −20 % → 0,80.
Un coefficient de 0,93 veut dire quoi ?
Une baisse de 7 % : 0,93 − 1 = −0,07.
Comment remonter au prix de départ ?
On divise par le coefficient. Après +25 %, 750 € → 750 ÷ 1,25 = 600 €. On ne retire pas 25 %.
+20 % puis −20 %, on retrouve le prix de départ ?
Non. 1,20 × 0,80 = 0,96 → une baisse de 4 %.
Trois évolutions à la suite, comment fait-on ?
On multiplie les trois coefficients. +10 %, +5 %, −8 % → 1,10 × 1,05 × 0,92 = 1,0626 → +6,26 %.
Les pourcentages de tête ?
10 % = ÷10 · 1 % = ÷100 · 50 % = la moitié · 25 % = le quart · 20 % = le cinquième.
Une baisse de 100 %, ça donne quel coefficient ?
0 : 1 − 1 = 0. Il ne reste rien. C'est la limite : on ne peut pas baisser de plus de 100 %.

Le quiz — 10 questions

10 questions. Une seule réponse par question.

1Sur 80 élèves, 20 font espagnol. Quelle proportion ?
Réponse : 25 %. 20 ÷ 80 = 0,25 = 25 %.
230 % des élèves sont externes. Parmi eux, 50 % viennent en bus. Quelle part de l'ensemble ?
Réponse : 15 %. 0,30 × 0,50 = 0,15 = 15 %. « % de % » → on multiplie.
3Combien font 12 % de 450 ?
Réponse : 54. 450 × 0,12 = 54.
4Un prix passe de 200 € à 230 €. Le taux d'évolution est de…
Réponse : +15 %. (230 − 200) ÷ 200 = 30 ÷ 200 = 0,15 = +15 %.
5Quel coefficient pour une baisse de 35 % ?
Réponse : × 0,65. 1 − 0,35 = 0,65.
6Un coefficient de 1,04 correspond à…
Réponse : une hausse de 4 %. CM − 1 = 0,04 = +4 %.
7Après une hausse de 50 %, un article vaut 90 €. Son prix de départ ?
Réponse : 60 €. 90 ÷ 1,50 = 60 €. On divise, on ne retire pas 50 %.
8Un prix augmente de 10 % puis de 10 %. Au total ?
Réponse : +21 %. 1,10 × 1,10 = 1,21 → +21 %. On ne additionne jamais les taux.
9Un prix baisse de 50 % puis augmente de 50 %. Au total ?
Réponse : −25 %. 0,50 × 1,50 = 0,75 → une baisse de 25 %.
10Que vaut 1 200 € après trois hausses de 2 % ?
Réponse : 1 273,44 €. 1 200 × 1,02³ = 1 200 × 1,061208 = 1 273,44 €.